Apresentação da cadeira aos alunos. Programa da cadeira e avaliação.

 

 

Revisão da electrostática. Campo electrostático e potencial electrostático. Campo eléctrico e potencial electrostático devido a uma carga pontual. Generalização para distribuições discretas e contínuas de carga: distribuição linear, superficial e volúmica de carga.

 

 

Continuação da revisão da electrostática. Determinação de um campo vectorial pelo conhecimento da sua divergência e rotacional: teorema de Helmholtz.
Energia de um sistema de cargas. Dedução da expressão da energia potencial de uma distribuição de cargas pontuais. Generalização para uma distribuição contínua de cargas. Dedução da expressão da energia em termos do campo eléctrico.

 

 

Condutores e suas características. Potencial, campo eléctrico e distribuição de cargas no interior e à superfície de um condutor. Dedução da forma da força por unidade de área (pressão electrostática) exercida na superfície de um condutor em equilíbrio electrostático.
Dipolo eléctrico. Momento dipolar eléctrico. Dedução da forma do potencial dipolar eléctrico.

 

 

Dedução da expressão do campo eléctrico dipolar. Dedução das expressões analíticas das superfícies equipotenciais e linhas de campo para o dipolo. Comparação entre as linhas de campo de um campo dipolar eléctrico e de um dipolo "físico". Desenvolvimento multipolar do potencial escalar para uma distribuição de cargas discreta. Polinómios de Legendre. Estudo dos termos monopolar, dipolar e quadrupolar.

 

 

Continuação da aula anterior. Momentos dipolar e quadrupolar de uma distribuição de cargas. Tensor quadrupolo eléctrico e suas características: caso de uma distribuição de carga com simetria axial. Caso das distribuições contínuas de carga. Problema da escolha da origem para o cálculo dos momentos dipolar e quadrupolar. Casos em que essa escolha é irrelevante.
Energia de uma distribuição de cargas na presença de um campo externo. Desenvolvimento da energia potencial de uma distribuição de cargas devido a um campo externo: termos monopolar, dipolar e quadrupolar.

 

 

Força exercida sobre um dipolo físico por um campo eléctrico externo constante e variável. Momento exercido por um campo eléctrico externo num dipolo.
Meios dieléctricos. Condutores e isoladores. Polarização da matéria: polarização induzida e polarização direccional. Momento dipolar induzido num dieléctrico: vector polarização P. Dedução das equações div P = -ρ_p e P . n = σ_p usando argumentos físicos em relação à distribuição de dipolos num material dieléctrico.

 

 

Estudo dos meios dieléctricos (continuação). Corrente de polarização jp. Dedução das equações div P = -ρ_p e P . n = σ_p através do cálculo do potencial criado no exterior por uma distribuição de dipolos. Questão do campo criado no interior do dieléctrico: cálculo do campo eléctrico médio num volume pequeno. Potencial e campo electrostáticos criados por uma esfera com polarização uniforme.

 

 

Definição do vector deslocamento eléctrico D. Obtenção da equação div D = ρ_l e condições fronteiras para P e D numa superfície de descontinuidade com densidades superficiais de carga livre e de polarização σ_p e σ_l, respectivamente.
Relação do vector polarização com o campo eléctrico. Dieléctricos lineares. Tensor susceptibilidade eléctrica. Dieléctricos lineares, isotrópicos e homogéneos: definição da constante dieléctrica e da permitividade do meio. Relação entre as densidades volumétricas de carga livre e de polarização para este tipo de dieléctricos. Valores de constantes dieléctricas para alguns materiais.
Energia associada ao campo electrostático na presença de dieléctricos. Dedução da expressão 1/2 ∫ E.D d^3r para o caso de dieléctricos lineares.

 

 

Polarizibilidade de átomos e moléculas não-polares. Campo eléctrico numa cavidade esférica. Relação com a constante dieléctrica: fórmula de Clausius-Mossotti. Polarização de moléculas polares. Polarização média segundo a direcção do campo eléctrico aplicado num sistema em equilíbrio a uma certa temperatura absoluta T: fórmula de Langevin. Expressão desta fórmula para temperaturas elevadas: lei de Curie.
Equações de Poisson e Laplace. Condições fronteira para o potencial electrostático. Demonstração do teorema da unicidade para as soluções da equação de Poisson num certo volume com condições fronteira para o potencial ou para as suas derivadas direccionais na superfície que limita o volume.

 

 

Estudo das soluções da equação de Laplace. Características gerais da solução da equação de Laplace num certo volume, em particular a inexistência de máximos e mínimos do potencial electrostático nesse volume: menção do teorema de Earnshaw.
Método das imagens para o cálculo do potencial electrostático. Exemplo: cálculo do potencial criado por uma carga pontual nas vizinhanças de um condutor plano infinito ligado à terra.
Solução da equação de Laplace em coordenadas cartesianas. Método de separação de variáveis.

 

 

Exemplo de aplicação do teorema de Earnshaw: potencial criado por 8 cargas pontuais nos vértices de um cubo.
Uso do programa Mathematica para a representação gráfica desse potencial.
Solução da equação de Laplace a duas dimensões para o caso de dois planos condutores semi-infinitos paralelos ao plano xy ligados à terra e unidos em x=0 por um condutor ao potencial V_0 . Funções sin(nπy/b) como um conjunto de funções ortogonais para valores de y no intervalo [0,b]: série de Fourier. Sistema completo de funções ortogonais. Verificação numérica, usando o programa Mathematica, da convergência da série de Fourier para a função que é a sua soma. Representação da solução V(x,y) num gráfico a três dimensões.

 

 

Solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas, usando o método de separação de variáveis. Solução geral da equação nas coordenadas angulares: harmónicos esféricos. Caso em que há simetria axial em redor do eixo dos zz. Polinómios de Legendre como conjunto de funções ortogonais. Solução geral da equação de Laplace em coordenadas esféricas quando há simetria axial. Exemplo de aplicação: caso do potencial criado por um condutor esférico ligado à terra quando existe um campo eléctrico inicial uniforme.

 

 

Métodos numéricos de resolução da equação de Laplace. Métodos de relaxação: método de Jordan, método de Gauss-Seidel e de sobre-relaxação sucessiva. Exemplo de aplicação destes métodos ao problema de determinar V(x,y) numa área quadrada com um potencial constante nos bordos usando o programa Mathematica.

 

 

Magnetostática: revisão de alguns conceitos. Força de Lorentz para uma carga pontual. Generalização para a força sobre uma corrente filiforme. Lei de Biot-Savart para correntes filiformes estacionárias. Generalização para as distribuições de correntes superficial e volúmica: densidades de corrente superficial K e volúmica j. Relação entre as correntes e densidades de corrente com as densidades de carga linear, superficial e volúmica. Equação da continuidade e sua expressão para correntes estacionárias. Verificação de que o campo B dado pela Lei de Biot-Savart tem divergência nula. Dedução da expressão do rotacional do mesmo campo.

 

 

Dedução da expressão do rotacional de B para correntes estacionárias (cont.). Lei dos circuitos de Ampère e sua utilidade para o cálculo de campos magnéticos que apresentem simetrias. Exemplo do cálculo do campo magnético devido a uma corrente linear estacionária infinita. Potencial vector A. Ambiguidade da sua definição. Dedução da sua forma para uma distribuição de correntes volúmica a partir da lei de Biot-Savart, que corresponde a ter uma divergência nula.

 

 

Campos magnéticos variáveis com o tempo. Lei de Faraday e correspondente lei de Maxwell. Expressão do rotacional de E quando há campos variáveis com o tempo: corrente de deslocamento.
Relação entre o fluxo de B e a corrente num circuito: auto-indutância de um circuito. Energia necessária para a criação de uma corrente num circuito devida à força electromotriz induzida. Generalização para uma distribuição de correntes num volume. Dedução da fórmula para a densidade de energia do campo magnético u_m=1/(2μ_0)B^2 .
Energia de um sistema de dois circuitos. Indutância mútua. Dedução da fórmula de Neumann para a indutância mútua para dois circuitos.

 

 

Desenvolvimento multipolar do potencial vector. Demonstração de que o termo monopolar é nulo. Dedução da forma do termo dipolar no caso de um circuito. Vector superfície a = ∫ dS. Momento dipolar magnético de um circuito.
Forma do campo magnético dipolar. Apresentação dos diagramas dos campos vectoriais representando o campo dipolar magnético e o campo B para espiras circulares. Momento exercido por por um campo magnético externo B sobre um dipolo magnético. Exemplo: efeito de Meissner num supercondutor. Demonstração experimental desse efeito usando azoto líquido e uma cerâmica supercondutora a altas temperaturas. Interacção dipolo-dipolo.

 

 

Resumo da aula anterior. Força entre dipolos magnéticos com várias orientações relativas dos momentos magnéticos. Explicação do efeito Meissner usando essa expressão.
Materiais magnéticos: paramagnetismo, diamagnetismo e ferromagnetismo.

 

 

Continuação da aula anterior. Materiais paramagnéticos e diamagnéticos. Explicação qualitativa do diamagnetismo. Vector magnetização M. Obtenção das densidades de corrente de magnetização volumétrica e superficial j_m e k_m em função do vector magnetização. Definição do campo H. Equações de Maxwell para H e respectivas condições fronteira numa superfície. Susceptibilidade magnética para materiais lineares isotrópicos e homogéneos: permeabilidade relativa e permeabilidade do meio. Valores de susceptibilidades magnéticas para alguns materiais paramagnéticos e diamagnéticos. Potencial escalar magnético. Energia magnética de um sistema que inclui materiais magnéticos lineares.

 

 

Materiais ferromagnéticos. Domínios magnéticos. Curva de magnetização B(H) de um ferromagnete. Ciclo de histerese de um ferromagnete. Ferromagnetes quase-lineares. Energia dissipada num ciclo de histerese.
Resumo das leis de Maxwell. Leis de Maxwell na presença de materiais dieléctricos e magnéticos lineares. Relação entre o campo eléctrico e o magnético e os potenciais vector e escalar no caso geral. Invariância de padrão.

 

 

Equações de Maxwell na ausência de cargas e correntes. Dedução das equações de onda para os campos eléctrico e magnético. Verificação de que √ε_0μ_0 = 1/c^2, onde c é a velociade da luz no vazio. Soluções sinusoidais da equação de onda quando a direcção de propagação é a do eixo dos zz. Características da onda sinusoidal. Notação exponencial para as ondas planas. Forma da solução quando a direcção de propagação é arbitrária. Verificação de que as ondas são transversais e os campos E e B são ortogonais entre si. Polarização linear e circular.

 

 

Teorema de Poynting. Dedução da expressão que o traduz usando a força de Lorentz. Vector de Poynting. Significado físico do vector de Poynting. Vector de Poynting no caso para uma onda plana polarizada linearmente. Valor médio deste vector num período da onda.
Equações de Maxwell em meios dieléctricos e magnéticos lineares, isotrópicos e homogéneos. Equações de onda para o caso de não haver correntes e cargas livres. Velocidade de propagação nesse caso. Índice de refracção em termos da permitividade eléctrica ε e permeabilidade magnética μ.

 

 

Continuação da aula anterior. Menção da dependência do índice de refracção da frequência da onda electromagnética. Equação de onda para meios condutores que verificam a lei de Ohm local, j_l = σ E . Demonstração de que a densidade de carga livre tende para zero exponencialmente com o tempo. Número de onda complexo. Factor Q. Expressões da parte real e imaginária do vector de onda em termos de Q, da frequência e de ε e μ. Caso em que Q<<1. Expressão da "profundidade de pele" (distância no condutor que a onda electromagnética consegue penetrar) neste caso.

 

 

Continuação da aula anterior. Casos em que o factor Q é muito grande. Propagação de ondas electromagnéticas através da superfície de separação de dois meios não condutores, quando não há distribuições de cargas livres nem de correntes livres na superfície. Obtenção das leis de reflexão e refracção.

Electromagnetismo e relatividade. Revisão de alguns conceitos de Relatividade Restrita.

 

 

Continuação da aula anterior. Transformação de Lorentz. Contracção de Lorentz e dilatação do tempo. Quadrivectores contravariantes e covariantes. Tensor métrico. Relação entre um intervalo espaço-tempo de tipo tempo e o intervalo de tempo próprio. Quadrivector momento linear. Carga como invariante relativístico: quadrivector densidade de corrente. Verificação de que o operador ∂/∂x^μ se transforma como um quadrivector contravariante. D' Alembertiano como operador invariante perante transformações de Lorentz. Potenciais escalar V e vector A como componentes do quadrivector potencial A^μ. Tensor electromagnético.


Resolução do problema 2 da sétima folha de problemas.

 

 

Resumo dos conceitos introduzidos na aula anterior. Dedução das equações para os potenciais electromagnéticos V e A usando o padrão de Lorentz. Obtenção das componentes do tensor electromagnético F^{μν} em termos das componentes dos campos eléctrico e magnético. Propriedades deste tensor perante transformações de Lorentz. Exemplo de cálculo da transformação de um elemento do tensor ao passar de um sistema de inércia S para um outro sistema de inércia S' que se move com velocidade constante segundo o eixo dos xx.

 

 

Definição do quadrivector força. Quadrivector força para uma partícula de massa m e carga q.

Generalização dos potenciais V e A definidos na electrostática e magnetostática quando há distribuições de cargas e correntes que dependem do tempo: potenciais retardados. Caso particular dos potenciais gerados por uma carga pontual: potenciais de Liénard-Wiechert. Justificação da sua forma pela alteração da percepção da geometria de uma distribuição de cargas que se desloque com velocidade muito grande em relação a um observador. Campos eléctrico e magnético correspondentes aos potenciais de Liénard-Wiechert. Identificação do termo que depende da aceleração da carga como responsável pela emissão de radiação.